Способы передачи тепловой энергии

Теплопроводность

Теплопроводность
— явление передачи внутренней энергии от одной части тела к другой или от одного тела к другому при их непосредственном контакте.Наибольшей теплопроводностью обладают металлы
— она у них в сотни раз больше, чем у воды. Исключением являются ртуть и свинец
, но и здесь теплопроводность в десятки раз больше, чем у воды.
При опускании металлической спицы в стакан с горячей водой очень скоро конец спицы становился тоже горячим. Следовательно, внутренняя энергия, как и любой вид энергии, может быть передана от одних тел к другим. Внутренняя энергия может передаваться и от одной части тела к другой. Так, например, если один конец гвоздя нагреть в пламени, то другой его конец, находящийся в руке, постепенно нагреется и будет жечь руку.
Нагревание кастрюли на электрической плитке происходит через теплопроводность.
Изучим это явление, проделав ряд опытов с твердыми телами, жидкостью и газом.
Внесем в огонь конец деревянной палки. Он воспламенится. Другой конец палки, находящийся снаружи, будет холодным. Значит, дерево обладает плохой теплопроводностью
.
Поднесем к пламени спиртовки конец тонкой стеклянной палочки. Через некоторое время он нагреется, другой же конец, останется холодным. Следовательно, и стекло имеет плохую теплопроводность
.
Если же мы будем нагревать в пламени конец металлического стержня, то очень скоро весь стержень сильно нагреется. Удержать его в руках мы уже не сможем.
Значит, металлы хорошо проводят тепло, т. е. имеют большую теплопроводность. Наибольшей теплопроводностью обладают серебро и медь
.Теплопроводность у различных веществ различна.
Плохой теплопроводностью обладают шерсть, волосы, перья птиц, бумага, пробка и другие пористые тела.
Это связано с тем, что между волокнами этих веществ содержится воздух. Самой низкой теплопроводностью обладает вакуум (освобожденное от воздуха пространство).
Объясняется это тем, что теплопроводность — это перенос энергии от одной части тела к другой, который происходит при взаимодействии молекул или других частиц. В пространстве, где нет частиц, теплопроводность осуществляться не может.
Если возникает необходимость предохранить тело от охлаждения или нагревания, то применяют вещества с малой теплопроводностью. Так, для кастрюль, сковородок ручки из пластмассы. Дома строят из бревен или кирпича, обладающих плохой теплопроводностью, а значит, предохраняют от охлаждения.

Излучение

Излучение — электромагнитное излучение, испускаемое за счет внутренней энергии веществом, находящимся при определенной температуре.
Мощность теплового излучения объекта, удовлетворяющего критериям абсолютно черного тела, описывается законом Стефана — Больцмана.
Отношение излучательной и поглощательной способностей тел описывается законом излучения Кирхгофа.
Передача энергии излучением отличается от других видов теплопередачи: она может осуществляться в полном вакууме.
Излучают энергию все тела: и сильно нагретые, и слабо, например тело человека, печь, электрическая лампочка и др. Но чем выше температура тела, тем больше энергии передает оно путем излучения. При этом энергия частично поглощается этими телами, а частично отражается. При поглощении энергии тела нагреваются по-разному, в зависимости от состояния поверхности.
Тела с темной поверхностью лучше поглощают и излучают энергию, чем тела, имеющие светлую поверхность. В то же время тела с темной поверхностью охлаждаются быстрее путем излучения, чем тела со светлой поверхностью. Например, в светлом чайнике горячая вода дольше сохраняет высокую температуру, чем в темном.

Другие заметки по физике

Лекция 9 Основы теории теплообмена

Теплопередача — это процесс переноса теплоты от одного теплоносителя к другому через разделяющую стенку. Теплопередача связана с весьма сложными процессами и при ее изучении необходимо знать законы теории теплообмена и методы анализа, применяемые в физике, термодинамике, гидродинамике и химии.

Сложный процесс переноса теплоты разбивают на ряд более простых. Такой прием упрощает его изучение. Кроме того, каждый простой процесс переноса теплоты подчиняется своим законам. Существует три простейших способа передачи теплоты: теплопроводность, конвекция, излучение.

Явление теплопроводности состоит в переносе теплоты микрочастицами (молекулами, атомами, электронами и т.п.). такой теплообмен может происходить в любых телах с неоднородным распределением температур.

Конвективный теплоперенос (конвекция) наблюдается лишь в жидкостях и газах. Конвекция — это перенос теплоты вместе с макроскопическими объемами вещества. Следует иметь ввиду, что одновременно с конвекцией всегда существует и теплопроводность. Однако конвекция обычно является определяющей, т.к. она интенсивнее теплопроводности.

Конвекцией можно передавать теплоту на очень большие расстояния (например, при движении газа по трубам). Движущаяся среда (жидкость или газ), используемая для переноса теплоты, называется теплоносителем.

Третьим способом переноса теплоты является излучение. За счет излучения теплота передается во всех лучепрозрачных средах, в том числе и в вакууме. Носителями энергии при теплообмене излучением являются фотоны, излучаемые и поглощаемые телами, участвующими в теплообмене.

В большинстве случаев перенос тепла осуществляется несколькими способами одновременно. Например, конвективная теплопередача от газа к стенке практически всегда сопровождается параллельным переносом теплоты излучением.

Основные понятия и определения

Интенсивность переноса теплоты характеризуется плотностью теплового потока. Плотность теплового потока — это количество теплоты, передаваемое в единицу времени через единичную плотность поверхности, q [Вт/м2].

Мощность теплового потока или просто тепловой поток — это количество теплоты, передаваемое в единицу времени через произвольную поверхность F , .

q=Q/F, Вт/м2

поверхность теплообмена F — это поверхность, через которую происходит передача тепла. Например, при остывании теплоносителя в трубе диаметром d и длиной l, тепло передается от горячего теплоносителя к окружающей среде через цилиндрическую поверхность трубы. В этом случае .

Перенос теплоты зависит от распределения температуры по объему тела или пространства. Температурным полем называется совокупность мгновенных значений температуры во всех точках тела или системы тел в данный момент времени. Математическое описание температурного поля имеет вид:

t=f(x,y,z,),

где t — температура;

x,y,z — пространственные координаты;

— время.

Температурное поле, описываемое приведенным уравнением, называется нестационарным. В этом случае температуры зависят от времени.

В том случае, когда распределение температуры в теле не изменяется со временем, температурное поле называется стационарным

t=f(x,y,z,),

если температура изменяется только по одной или двум пространственным координатам, то температурное поле называется соответственно одно- и двухмерным:

t=f(x,),

Температурные поля (1.2) и (1.3) называются трехмерными.

Поверхность, во всех точках которой температура одинакова, называется изотермической. Изотермические поверхности могут быть замкнутыми, но не могут пересекаться. Быстрее всего температура изменяется при движении в направлении, перпендикулярном изотермической поверхности. Скорость изменения температуры по нормали к изотермической поверхности характеризуется градиентом температуры.

Г

t3=Const

t2=Const

t1=Const

dF

q

grad t

t1>t2>t3

Рисунок 9.1 — Расположение градиента температуры и вектора теплового потока относительно изотермы t2=Constтемпературного поля

где -единичный вектор, направленный в сторону возрастания температур нормально к изотермической поверхности.

Классификация величин

Явления, которые характеризируют всю систему целиком, называют макроскопическими. В разных источниках классификация величин отличается, но основные группы все же можно выделить. 

Группы параметров:

1. Переменных состояний: экстенсивные и интенсивные величины.
2. Фазовые или химические реакции.
3. Термо- механические, химические и физические.
4. Функционалов процессов: энергия переноса массы, теплота, работа.

В некоторых случаях в литературе используются также такие определения, как внешние и внутренние величины. К первым относят экстенсивные свойства, а ко вторым — внутреннюю энергию, температуру или химсостав.

Термодинамическими параметрами называют и величины, которые поддаются и не поддаются измерению приборами. Давление, температура и объем легко измеряется, а внутреннюю энергию уже нужно вычислять по формулам.

Наряду с термическими параметрами свойств в термодинамике также широко используются и калорические. К ним относятся, в частности энтальпия и энтропия. 

Основные величины 

К основным термодинамическим параметрам относятся: удельный объем, давление и температура. Если меняется хотя бы одна из этих величин, происходит процесс. Совокупность генеральных свойств системы соответственно определяет ее состояние. 

Основные термодинамические параметры состояния:

1. Удельный объем. Речь идет о массе вещества, которая обратна плотности. Измеряется в кубических метрах (м3), а масса — в килограммах. Затем рассчитывается удельный объем как объем, деленный на массу.
2. Давление. Представляет собой количество силы, прилагаемой к площади. Для измерения используют разные единицы (например, Паскаль). Чтобы создать большое давление, прикладывают большую силу либо применяют ее к небольшой площади.
3. Температура. Показатель теплоты по температурной шкале Цельсия, Фаренгейта, Кельвина. Мера средней кинетической энергии атомов или молекул в системе. Нулевой закон термодинамики гласит, что тепло не передается между двумя объектами в тепловом равновесии. Следовательно они одинаковой температуры.
4. Плотность. Отношение массы вещества к объему. Физическое свойство материи (каждый элемент и соединение имеет уникальную плотность). Плотность определяется как мера относительной тяжести предметов с постоянным объемом.

Основным термодинамическим параметром являются также удельная теплоемкость вещества (объем теплоты, поглощаемой в процессе нагревания на 1 кельвин).

Теплопередача

Теплопередача – процесс изменения внутренней энергии тела без совершения работы.

Существуют три вида теплопередачи: теплопроводность, конвекция и излучение (лучистый теплообмен). Теплопередача происходит между телами, имеющими разную температуру. Тепло передается от тела с более высокой температурой к телу с более низкой температурой.

Теплопроводность – это процесс переноса энергии от более нагретых тел (частей тела) к менее нагретым в результате движения и взаимодействия частиц тела. Высокую теплопроводность имеют металлы – так, лучшие проводники тепла – медь, золото, серебро. Теплопроводность жидкостей меньше, а газы являются плохими проводниками тепла. Пористые тела плохо проводят тепло, так как в порах содержится воздух. Вещества с низкой теплопроводностью используют в качестве теплоизоляторов. Теплопроводность невозможна в вакууме. При теплопроводности не происходит переноса вещества.

Явление теплопроводности газов аналогично явлению диффузии. Быстрые молекулы из слоя с более высокой температурой перемещаются в более холодный слой, а молекулы из холодного слоя перемещаются в более нагретый. За счет этого средняя кинетическая энергия молекул более теплого слоя уменьшается, и его температура становится ниже.

В жидкостях и твердых телах при повышении температуры какого-либо участка твердого тела или жидкости его частицы начинают колебаться сильнее. Соударяясь с соседними частицами, где температура ниже, эти частицы передают им часть своей энергии, и температура этого участка возрастает.

Конвекция – перенос энергии потоками жидкости или газа.

Объяснить механизм конвекции можно на основе теплового расширения тел и закона Архимеда. При нагревании объем жидкости увеличивается, а плотность уменьшается. Нагретый слой под действием силы Архимеда поднимается вверх, а холодный опускается вниз. Это естественная конвекция. Она возникает при неравномерном нагревании жидкости или газа снизу в поле тяготения.

При вынужденной конвекции перемещение вещества происходит под действием насосов, лопастей вентилятора. Такая конвекция применяется в состоянии невесомости. Интенсивность конвекции зависит от разности температур слоев среды и агрегатного состояния вещества. Конвекционные потоки поднимаются вверх. При конвекции происходит перенос вещества.

В твердых телах конвекция невозможна, так как частицы не могут из-за сильного взаимодействия покидать свои места. В вакууме конвекция также невозможна.

Примером конвективных потоков в природе являются ветры (бризы дневной и ночной, муссоны).

Излучение (лучистый теплообмен) – перенос энергии электромагнитными волнами. Перенос тепла излучением возможен в вакууме. Источником излучения является любое тело, температура которого отлична от нуля К. При поглощении энергия теплового излучения переходит во внутреннюю энергию. Темные тела быстрее нагреваются излучением, чем тела с блестящей поверхностью, но и остывают быстрее. Мощность излучения зависит от температуры тела. С увеличением температуры тела энергия излучения увеличивается. Чем больше площадь поверхности тела, тем интенсивнее излучение.

Применение показателя теплопроводности на практике

Тепловая энергия широко используется в технике и в быту. Все способы ее применения можно разделить на два способа:

• энергетический (для преобразования тепла в механическую работу);
• технологический (для направленного изменения свойств различных тел).

Процессы преобразования теплоты в работу изучаются в технической термодинамике, а процессы непосредственного использования — в теплопередаче.

Правильная организация рабочих процессов в теплоэнергетике, в химической, пищевой промышленности, в технике холода, в металлургии, в строительной индустрии, электротехнике невозможна без знания законов теплопередачи и учета показателей теплопроводности в различных элементах машин и аппаратов, химической и других отраслей промышленности.

Теория теплообмена широко применяется на практике. Например, в строительстве важны значения теплопроводности различных утеплителей (минеральная вата, пенополистирол и т.д.).

От чего зависит показатель теплопроводности

Показатель теплопроводности зависит от нескольких факторов:

1. Температура.
2. Условия эксплуатации того или иного материала.
3. Влажность. Высокий уровень влажности провоцирует вытеснение сухого воздуха капельками жидкости из пор, из-за чего значение увеличивается многократно.
4. Агрегатное состояние вещества. Самой высокой теплопроводностью обладают твердые тела, самой низкой — газы (в частности, вакуум).
5. Структура, пористость (поры говорят о неоднородности структуры: когда через них проходит тепло, охлаждение будет минимальным); плотность вещества (большая плотность способствует более активному взаимодействию частиц, теплообмен и уравновешивание температур протекает быстрее).

Как рассчитать теплопроводность по закону Фурье

В установившемся режиме плотность потока энергии, передающейся посредством теплопроводности, пропорциональна градиенту температуры:

Где:

• q — вектор плотности теплового потока — количество энергии, проходящей в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной каждой оси;
• x — коэффициент теплопроводности (удельная теплопроводность);
• T — температура.

Минус в правой части показывает, что тепловой поток направлен противоположно вектору grad T (то есть в сторону скорейшего убывания температуры).

В интегральной форме:

Где:

• P — полная мощность тепловой передачи;
• S — площадь сечения параллелепипеда;
• ΔT — перепад температур граней;
• l — длина параллелепипеда, то есть расстояние между гранями.

Понятие теплопроводности в физике

Перенос теплоты осуществляется 3 способами:

1. Конвекция.
2. Излучение.
3. Теплопроводность.

Совершая непрерывные хаотические движения, молекулы, атомы, электроны и другие микрочастицы, из которых состоят тела, сталкиваются друг с другом. При этом частицы, обладающие большей энергией, частично передают ее частицам с меньшей энергией. 

Такой теплообмен может происходить в любых телах с неоднородным распределением температур, но механизм переноса теплоты будет зависеть от агрегатного состояния.

По отдельности в реальном мире виды переноса теплоты практически не встречаются. Чаще всего происходит совместный перенос.

Условная схема теплообмена:

Теплопроводность

Теплопроводность — явление передачи внутренней энергии от одной части тела к другой или от одного тела к другому при их непосредственном контакте.Наибольшей теплопроводностью обладают металлы — она у них в сотни раз больше, чем у воды. Исключением являются ртуть и свинец, но и здесь теплопроводность в десятки раз больше, чем у воды.
При опускании металлической спицы в стакан с горячей водой очень скоро конец спицы становился тоже горячим. Следовательно, внутренняя энергия, как и любой вид энергии, может быть передана от одних тел к другим. Внутренняя энергия может передаваться и от одной части тела к другой. Так, например, если один конец гвоздя нагреть в пламени, то другой его конец, находящийся в руке, постепенно нагреется и будет жечь руку.
Нагревание кастрюли на электрической плитке происходит через теплопроводность.
Изучим это явление, проделав ряд опытов с твердыми телами, жидкостью и газом.
Внесем в огонь конец деревянной палки. Он воспламенится. Другой конец палки, находящийся снаружи, будет холодным. Значит, дерево обладает плохой теплопроводностью.
Поднесем к пламени спиртовки конец тонкой стеклянной палочки. Через некоторое время он нагреется, другой же конец, останется холодным. Следовательно, и стекло имеет плохую теплопроводность.
Если же мы будем нагревать в пламени конец металлического стержня, то очень скоро весь стержень сильно нагреется. Удержать его в руках мы уже не сможем.
Значит, металлы хорошо проводят тепло, т. е. имеют большую теплопроводность. Наибольшей теплопроводностью обладают серебро и медь.Теплопроводность у различных веществ различна.Плохой теплопроводностью обладают шерсть, волосы, перья птиц, бумага, пробка и другие пористые тела. Это связано с тем, что между волокнами этих веществ содержится воздух. Самой низкой теплопроводностью обладает вакуум (освобожденное от воздуха пространство). Объясняется это тем, что теплопроводность — это перенос энергии от одной части тела к другой, который происходит при взаимодействии молекул или других частиц. В пространстве, где нет частиц, теплопроводность осуществляться не может.
Если возникает необходимость предохранить тело от охлаждения или нагревания, то применяют вещества с малой теплопроводностью. Так, для кастрюль, сковородок ручки из пластмассы. Дома строят из бревен или кирпича, обладающих плохой теплопроводностью, а значит, предохраняют от охлаждения.

Уравнение теплового баланса

Поскольку количество молекул пропорционально массе тела, а средняя энергия молекулы пропорциональна температуре, то количество тепла, отданное или принятое телом, пропорционально массе и разности температур до и после обмена:

$$Q \thicksim mΔt$$

При этом величина $Δt$ (а значит, и $Q$) будет положительна, если тело нагревается, и отрицательна, если тело охлаждается. Для окончательного нахождения количества тепла, принятого или отданного телом, необходимо ввести коэффициент пропорциональности, физический смысл которого состоит в том, что это количество энергии, необходимое, чтобы нагреть 1кг вещества на 1К. Данный коэффициент называется удельной теплоемкостью, обозначается латинской буквой «c», и имеет размерность в $Дж \over кг × К$.

Рис. 2. Теплоемкость.

Таким образом, количество тепла, переданное n-му телу, равно:

$$Q_n = c_n m_n Δt_n$$

Поскольку система замкнута, то, согласно Закону сохранения энергии, общее количество энергии в системе остается постоянным. Теплообмен состоит лишь в том, чтобы энергия распределилась по системе равномерно. То есть, сумма количества тепла, переданного или принятого каждым телом в системе равна нулю:

$$Q_1+Q_2+ Q_3+…=0$$

В результате мы получили формулу уравнения теплового баланса. Подставив значения количества тепла, полученное или отданное каждым телом в системе, и решив получившееся уравнение, можно найти неизвестные величины.

Подчеркнем, что система должна быть замкнутой – то есть теплоизолированной от внешнего мира. Обычно изоляция осуществляется с помощью специального теплообменного аппарата – калориметра.

Рис. 3. Калориметр.

Способы переноса теплоты

способы переноса теплоты

Теплопроводность — это процесс молекулярного переноса теплоты в твердых материалах, который происходит между непосредственно соприкасающимися телами или частицами тел с различной температурой. В металлах перенос теплоты осуществляется в основном путем диффузии свободных электронов.

Способность тела (вещества) проводить те плоту характеризуется коэффициентом теплопроводности А,, Вт/(м-К), который численно равен количеству теплоты, проходящей в единицу времени через единицу изотермической поверхности при температурном градиенте, равном единице. Изотермической называется поверхность в продукте, во всех точках которой температура одинакова. Температурный градиент — это направление наиболее интенсивного изменения температуры (вектор изменения температуры). Величина этого вектора grad ^определяется как отношение изменения температуры AtK единице длины перемещения At в направлении вектора (кратчайшее расстояние между изотермическими поверхностями).

Конвекцией теплоты называют процесс ее переноса микрочастицами только текучей среды (жидкости или газа) из зоны с одной температурой в зону с другой. Конвекция теплоты всегда сопровождается теплопроводностью, так как при движении жидкости или газа неизбежно возникает соприкосновение отдельных частиц, имеющих различные температуры. Одновременный перенос теплоты конвекцией и теплопроводностью называется конвективным теплообменом, он может быть вынужденным и свободным. Если движение рабочего тела (среды) вызвано искусственно (вентилятором, насосом, мешалкой и др.), то такой конвективный теплообмен называют вынужденным. Если же его движение возникает под влиянием разности плотностей отдельных частей нагреваемых жидкости или газа, то такой теплообмен называют свободным, или естественным.

Передача теплоты от одной подвижной среды (жидкости или газа) к другой через разделяющую их однородную или многослойную твердую стенку любой формы называется теплопередачей. Теплопередача включает в себя теплоотдачу от более горячей среды (газа или жидкости) к стенке, теплопроводность в стенке, теплоотдачу от стенки к более холодной подвижной среде (жидкости или газу).

Коэффициент теплопередачи характеризует интенсивность передачи теплоты от горячей среды к холодной через разделяющую их стенку и численно равен количеству теплоты, которая передается через единицу поверхности стенки в единицу времени при разности температур между средами 1°С.

Тепловое излучение представляет собой процесс переноса энергии посредством электромагнитных колебаний, имеющих различную длину волны. Излучение всех тел зависит от температуры тела и с ее ростом увеличивается, так как возрастает внутренняя энергия тела. Тепловое излучение охватывает область длин волн 0,3-50 мкм. Эта область может быть условно разделена на ультрафиолетовый, видимый и инфракрасный диапазоны.

Теплоёмкости

Передача тепла $\delta Q$ системе может изменить её температуру $dT$.
Соответствующее отношение $C=\delta Q/d T$ называется теплоёмкостью.
Чем больше система, тем больше её теплоёмкость.
Поэтому вводят понятие удельной теплоёмкости,
равной
отношению теплоёмкости к числу частиц $c=C/N$ или к массе тела $c=C/m$.

Теплоёмкость зависит от условий при которых
тепло сообщается системе. Например, теплоёмкости при постоянном объёме $C_V$ и постоянном давлении $C_P$
для идеального газа не зависят от температуры и имеют следущие значения:
$$
C_V ~=~ \left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_V ~~~\overset{\delta A=0}{~=~}~~~ \left(\frac{dU}{dT}\right)_V
~=~ \frac{k\,N}{\gamma-1},
$$
$$
C_P ~=~ \left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_P ~=~ \left_P
~=~ \frac{\gamma}{\gamma-1}\,k\,N.
$$
Связь $C_P ~=~ C_V ~+~ k\,N $ называется соотношением Майера
(теплоёмкость одного моля $C_P$ больше $C_V$ на газовую постоянную $R = k\,N_A \approx 8.31\, Дж/ моль\cdot K$).
То, что $C_P \gt C_V$ типично для большинства термодинамических систем,
так как, если $V\neq \text{const}$, то при нагреве $dT$ увеличивается внутренняя энергия и совершается работа.

Для идеального газа теплоёмкость $C_V$ является коэффициентом пропорциональности между внутренней энергией
и его температурой, а отношение $C_P/C_V$ определяет параметр $\gamma$:
$$
U = C_V\,T,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\frac{C_P}{C_V} = \gamma \gt 1.
$$

В терминах степеней свободы $f$ теплоёмкость $C_V=(f/2)\,k\,N$ и не зависит от температуры.
Для реальных газов это не так. Например, для двухатомного водорода $H_2$
при низких температурах параметр $f=3$. При повышении температуры он увеличивается и выходит на плато с $f=5$.
Наконец при очень высоких температурах $f=7$. Такое поведение объясняет квантовая механика
как активизацию колебательных $E^к_n = \hbar\,\omega\,(n+1/2)$ и вращательных $E^в_n = \hbar\, n\,(n+1)/2J$
уровней энергии ($E^в \sim E^к/100$) с ростом температуры (молекулы «сильнее сталкиваются»).

Найдём связь между теплоёмкостями $C_V,\,C_P$ и уравнением состояния $P=P(T,\,V)$
в общем случае.
Изменение внутренней энергии $U=U(T,\,V)$ равно:
$$
dU ~=~\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\,dT ~+~ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\,dV.
$$
Деля на $dT$ и смещаясь вдоль кривой $P=\text{const}$ на плоскости $(T,V)$, имеем:
$$
\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_P~= ~\underbrace{\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V}_{C_V} ~+~
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\,\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P.
$$
Учитывая это соотношение и по определению теплоёмкости при постоянном давлении, получаем:
$$
C_P = \left_P~=~ C_V ~+~
\left\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P.
$$
Чтобы выразить производную $(\partial V/\partial T)_P$ через функцию состояния $P=P(T,\,V)$,
учтём постоянство давления в определении теплоёмкости $C_P$, которое означает:
$$
dP = 0 ~=~ \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V\,dT_P~+~ \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T\,dV_P,
$$
где $dT_P$, $dV_P$ — это не произвольные приращения, а такие приращения, при которых давление
остаётся неизменным (для этого должен «синхронно» изменяться и объём).
Такие сдвиги на плоскости $(T,V)$ должны происходить вдоль кривых $P=P(T,\,V)=\text{const}$.
Из этого соотношения сразу следует:
$$
\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P ~=~-\frac{\left(\partial P/\partial T\right)_V}{\left(\partial P/\partial V\right)_T}.
$$
Для идеального газа $P=N\,k\,T/V$, эта производная равна: $V/T$.

Переданное системе тепло при нагреве $dT$ и изменении её объёма $dV$ можно вычислить следующим образом:
$$
\delta Q~=~
dU + P\,dV
~=~C_V\,dT ~+~ \leftdV
~=~C_V\,dT ~+~ \frac{C_P-C_V}{(\partial V/\partial T)_P}\,dV.
$$
Соответственно, для идеального газа: $\delta Q = C_V\,dT + k\,N\,T\,dV/V$.

Первый закон термодинамики

Закон сохранения и превращения энергии, распространенный на тепловые явления, называется первым законом (началом) термодинамики.

Можно дать формулировку этого закона исходя из способов изменения внутренней энергии.

Изменение внутренней энергии системы при переходе ее из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил и количества теплоты, переданного системе:

Если рассматривать работу самой системы над внешними телами, то закон может быть сформулирован так:

количество теплоты, переданное системе, идет на изменение ее внутренней энергии и совершение системой работы над внешними телами:

Если система изолирована и над ней не совершается работа и нет теплообмена с внешними телами, то в этом случае внутренняя энергия не изменяется. Если к системе не поступает теплота, то работа системой может совершаться только за счет уменьшения внутренней энергии. Это значит, что невозможно создать вечный двигатель – устройство, способное совершать работу без каких-либо затрат топлива.

Первый закон термодинамики для изопроцессов

Изотермический процесс: ​\( Q=A’\,(T=const, \Delta U=0) \)​Физический смысл: все переданное газу тепло идет на совершение работы.

Изобарный процесс: \( Q=\Delta U+A’ \)​Физический смысл: подводимое к газу тепло идет на увеличение его внутренней энергии и на совершение газом работы.

Изохорный процесс: \( Q=\Delta U\,(V=const, A’=0) \)​Физический смысл: внутренняя энергия газа увеличивается за счет подводимого тепла.

Адиабатный процесс: ​\( \Delta U=-A’ \)​ или ​\( A=\Delta U\,\mathbf{(Q=0)} \)​Физический смысл: внутренняя энергия газа уменьшается за счет совершения газом работы. Температура газа при этом понижается.

Задачи об изменении внутренней энергии тел

Такие задачи можно разделить на группы:

• При взаимодействии тел изменяется их внутренняя энергия без совершения работы над внешней средой.
• Рассматриваются явления, связанные с превращением одного вида энергии в другой при взаимодействии двух тел. В результате происходит изменение внутренней энергии одного тела вследствие совершенной им или над ним работы.

При решении задач первой группы:

• установить, у каких тел внутренняя энергия уменьшается, а у каких – возрастает;
• составить уравнение теплового баланса ​\( (\Delta U=0) \), при записи которого в выражении ​\( Q =cm(t_2 – t_1) \)​ для изменения внутренней энергии нужно вычитать из конечной температуры тела начальную и суммировать члены с учетом получающегося знака;
• решить полученное уравнение относительно искомой величины;
• проверить решение.

При решении задач второй группы:

• убедиться, что в процессе взаимодействия тел теплота извне к ним не подводится, т.е. действительно ли ​\( Q = 0 \)​;
• установить, у какого из двух взаимодействующих тел изменяется внутренняя энергия и что является причиной этого изменения – работа, совершенная самим телом, или работа, совершенная над телом;
• записать уравнение ​\( Q = \Delta U + A \)​ для тела, у которого изменяется внутренняя энергия, учитывая знак перед работой и КПД рассматриваемого процесса;
• если работа совершается за счет уменьшения внутренней энергии одного из тел, то ​\( А= -\Delta U \)​, а если внутренняя энергия тела увеличивается за счет работы, совершенной над телом, то ​\( A=\Delta U \)​;
• найти выражения для ​\( \Delta U \)​ и ​\( A \)​;
• подставить в исходное уравнение вместо \( \Delta U \) и \( A \) выражения для них, получить окончательное соотношение для определения искомой величины;
• решить полученное уравнение относительно искомой величины;
• проверить решение.